Malla Curricular — Matemáticas | Grado 9° | KREADU School | Periodo 2

Información General

Área: Matemáticas
Grado: 9° (Ciclo 4: Grados 8-9)
Intensidad horaria semanal: 4 horas/semana
Año lectivo: 2026
Enfoque pedagógico institucional: Educación Creadora (Énfasis en Investigación y Desarrollo — I+D)
Sistema de Evaluación: Cualitativa (Pilares Cognitivo, Personal y Social)

Propósito de Formación del Área

El grado noveno cierra el Ciclo 4 y prepara la transición a la Media. El estudiante consolida el pensamiento variacional con sistemas de ecuaciones e inecuaciones, conecta álgebra y geometría mediante la Geometría Analítica, se introduce a los procesos infinitos (sucesiones) y domina técnicas de conteo y comparación estadística, integrado a proyectos I+D de análisis territorial.

Articulación Vertical

Viene de (grado anterior): Retoma la función lineal, la factorización básica y el Teorema de Pitágoras de octavo (Consultar: [[_indice-MAT-G08]]).
Proyecta a (grado siguiente): Sienta las bases de la trigonometría, las secciones cónicas y el pre-cálculo de décimo (Consultar: [[_indice-MAT-G10]]).

Período 2 — "Cuerpos Redondos, Procesos Infinitos y Teoremas"

(Semanas 14 a 25 — Segunda mitad de Unidad 2 + Unidad 3 de la [[SECUENCIA-MAT-G09]])

Dimensiones de Formación Integral 2026

Dimensión Ancla: [[DIM-COGNITIVA]] — Comprende conceptualmente la idea del infinito y las sucesiones.
Dimensión Transversal: [[DIM-HISTORICA-MEMORIA]] — Reconoce el legado de los matemáticos griegos.

Derechos Básicos de Aprendizaje / Desempeños

ID	Enunciado oficial (DBA V2, MEN 2017)	Alcance en este período
[[DBA-MAT-G09-04]]	Identifica y utiliza relaciones entre el volumen y la capacidad de algunos cuerpos redondos (cilindro, cono y esfera) con referencia a las situaciones escolares y extraescolares.	Volumen de cilindro, cono y esfera.
[[DBA-MAT-G09-03]]	Utiliza los números reales, sus operaciones, relaciones y representaciones para analizar procesos infinitos y resolver problemas.	Sucesiones y progresiones.
[[DBA-MAT-G09-05]]	Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Thales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.	Aplicación avanzada de Pitágoras y Tales.
[[DBA-MAT-G09-06]]	Conjetura acerca de las regularidades de las formas bidimensionales y tridimensionales y realiza inferencias a partir de los criterios de semejanza, congruencia y teoremas básicos.	Criterios de congruencia de triángulos.

Contenidos y Ejes Temáticos

Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera; volumen y capacidad.
Sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas.
Procesos infinitos: la paradoja de Zenón, noción intuitiva de límite.
Criterios de congruencia y semejanza de triángulos.

Planeación y Desglose Semanal de Clases

Semana 14: Cuerpos redondos: volumen y capacidad del cilindro

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Fórmula y aplicaciones prácticas del volumen del cilindro.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Identificar y utilizar relaciones entre el volumen y la capacidad del cilindro en la solución de problemas del entorno.

📖 Concepto Teórico: * El Cilindro: cuerpo redondo de revolución con bases circulares paralelas congruentes. * Volumen del Cilindro: $V = \pi r^2 h$. * Capacidad de Almacenamiento: relación entre metros cúbicos y volumen de litros de fluidos ($1 \, m^3 = 1000 \, litros$).

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Tanque Veredal: Calcule cuántos litros de agua almacena un tanque cilíndrico de 1.6 metros de diámetro y 3 metros de altura. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control de Ecuaciones. Cálculo en la libreta. El docente revisará el correcto despeje matemático cuando la incógnita sea el radio o la altura.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Cuerpos redondos: volumen y capacidad del cilindro (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Brindar plantillas visuales con la fórmula desglosada y calculadoras científicas para estudiantes que requieran andamiaje numérico.

Semana 15: El cono: volumen y relación con el cilindro

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: La fórmula de volumen del cono y su proporción respecto al cilindro.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Explicar y aplicar la fórmula del volumen de un cono, deduciendo su relación de proporcionalidad respecto al cilindro.

📖 Concepto Teórico: * El Cono: cuerpo redondo con una base circular y un vértice común. * Volumen del Cono: $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$. * Generatriz de un Cono: hipotenusa del triángulo generador que determina la superficie lateral inclinada.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Silo Cónico: Calcule el volumen de un cono de almacenamiento de granos que tiene 3 metros de radio y 4 metros de altura perpendicular. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Desafío del Cono y Cilindro. Resolución en parejas de problemas aplicados de comparación de capacidades entre envases cilíndricos y cónicos.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: El cono: volumen y relación con el cilindro (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar modelos virtuales interactivos 3D en GeoGebra para ver el cono y el cilindro en movimiento.

Semana 16: La esfera: volumen y área superficial

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Estudio del volumen de la esfera y su área de superficie.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Resolver problemas métricos de cálculo de volumen y superficie de esferas en contextos escolares y extraescolares.

📖 Concepto Teórico: * La Esfera: sólido geométrico de revolución delimitado por una superficie donde todos sus puntos equidistan del centro. * Volumen de la Esfera: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. * Área Superficial Esférica: $A = 4\pi r^2$.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Volumen del Balón Oficial: Calcule el volumen y la superficie de cuero de un balón de fútbol de radio 11 cm aproximando pi a 3.14. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Ticket de Salida de la Esfera. Entrega individual de la resolución matemática de un problema de volumen de una esfera de gas o gota de agua.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: La esfera: volumen y área superficial (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Usar balones físicos de diferentes deportes y cintas métricas para estimar el radio y verificar cálculos.

Semana 17: Sucesiones y regularidades numéricas

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Identificación de patrones y fórmulas básicas en sucesiones.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Identificar las regularidades de sucesiones numéricas reales y proponer sus términos generales iniciales.

📖 Concepto Teórico: * Sucesión Matemática: función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. * Término General ($a_n$): fórmula algebraica que permite calcular cualquier término de la sucesión según su posición $n$. * Diferencia de Términos: el patrón o salto constante entre números sucesivos.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Término Secreto: Dada la sucesión: 2, 5, 8, 11, 14... deduzca el término general $a_n$ y calcule el número que ocupará la posición 50. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Pizarras Activas. Los estudiantes resuelven en minitableros secuencias numéricas complejas dictadas por el docente de forma inmediata.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Sucesiones y regularidades numéricas (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Dar tablas visuales de patrones de sumas consecutivas para estudiantes con barreras en la abstracción.

Semana 18: Progresiones aritméticas: suma y términos

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Estudio formal de las progresiones aritméticas y su suma acumulada.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Resolver problemas del entorno aplicando el término general y la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética.

📖 Concepto Teórico: * Progresión Aritmética (PA): sucesión donde cada término se obtiene sumando al anterior una constante llamada diferencia ($d$). * Término General de la PA: $a_n = a_1 + (n - 1)d$. * Suma de Términos: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$, fórmula deducida históricamente por Gauss.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): La Alcancía de Gauss: Si ahorra $2.000 el primer día y aumenta $500 cada día siguiente, calcule cuánto dinero habrá acumulado en total al día 30. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Ahorro. El docente verificará en la libreta que se aplique la fórmula de suma de Gauss para resolver el problema de forma directa.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Progresiones aritméticas: suma y términos (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar fichas de juego de monopolio o monedas reales para visualizar el incremento del ahorro de Gauss.

Semana 19: Progresiones geométricas y finanzas simples

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Estudio de las progresiones geométricas y su crecimiento multiplicativo.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Analizar situaciones de crecimiento exponencial y financiero aplicando fórmulas de progresiones geométricas.

📖 Concepto Teórico: * Progresión Geométrica (PG): sucesión donde cada término se obtiene multiplicando al anterior por una razón constante ($r$). * Término General de la PG: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. * Suma de Progresión Geométrica: $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$, acumulación de términos en crecimiento exponencial.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Rumor Viral en Redes: Si una persona le cuenta un secreto a 3 personas en la hora 1, y cada una de ellas se lo cuenta a otras 3 personas en la hora 2, calcule el total acumulado en la hora 6. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Taller en Equipos de Crecimiento. Resolución grupal de problemas aplicados sobre bacterias y crecimiento geométrico comparado con el aritmético.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Progresiones geométricas y finanzas simples (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Representar las progresiones con diagramas de árbol dibujados de forma muy colorida e interactiva.

Semana 20: Paradojas del infinito: Zenón de Elea

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Análisis histórico y conceptual del infinito matemático a través de las paradojas de Zenón.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Analizar y debatir conceptualmente las paradojas de Zenón (Aquiles y la tortuga) para comprender la noción de infinito.

📖 Concepto Teórico: * Paradojas de Zenón: Aquiles nunca puede alcanzar a la tortuga porque primero debe recorrer la mitad de la distancia anterior infinita. * Divisibilidad Infinita: la idea de dividir un espacio físico en infinitos fragmentos más pequeños. * El Legado de Elea: dilemas lógicos griegos antiguos sobre el espacio, el tiempo y el movimiento.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): La Carrera de Aquiles: Escriba una argumentación en sus equipos defendiendo por qué Aquiles sí alcanza a la tortuga físicamente pero lógicamente presenta una paradoja. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Debate Filosófico-Matemático. Presentación del argumento de cada equipo. El docente evaluará el uso de lógica matemática y el respeto en el diálogo.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Paradojas del infinito: Zenón de Elea (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar tiras de papel cortadas consecutivamente por la mitad para ver de forma tangible cómo el papel nunca desaparece.

Semana 21: Noción intuitiva del límite matemático

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: El comportamiento de variables cuando tienden al infinito y concepto intuitivo de límite.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Utilizar números reales y representaciones infinitas para proponer la aproximación intuitiva de límite de una sucesión.

📖 Concepto Teórico: * Límite de Sucesión: el valor $L$ al que se aproximan los términos de la sucesión a medida que $n$ tiende al infinito. * Convergencia: sucesiones que tienen un límite numérico definido (ej. $1/n$ tiende a 0). * Suma Infinita Convergente: la suma infinita $\sum \frac{1}{2^n}$ converge de forma exacta a 1.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Pastel Infinito: Calcule la suma decimal de los términos $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$ y verifique a qué número entero se aproxima. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control de Aproximación. Revisión individual del cuaderno. Los estudiantes deben explicar verbalmente la noción de aproximación infinita (tender a...).

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Noción intuitiva del límite matemático (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Proporcionar representaciones gráficas interactivas con deslizadores digitales en GeoGebra para ver la convergencia al infinito.

Semana 22: Congruencia de triángulos y criterios lógicos

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Estudio formal de los tres criterios de congruencia de triángulos.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Demostrar y argumentar la congruencia de triángulos aplicando los criterios LAL, ALA y LLL en justificaciones geométricas.

📖 Concepto Teórico: * Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son iguales. * Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) y ALA: criterios de congruencia con un ángulo o lado intermedio. * Demostración Formal: construir deducciones lógicas de hipótesis a tesis basadas en teoremas.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): La Cercha Inflexible: Construya dos triángulos con sorbetes de lados 6, 8 y 10 cm y demuestre que es imposible armar formas diferentes (Criterio LLL). (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Taller de Demostración Escrita. Los estudiantes escriben una demostración de dos columnas (Afirmaciones/Razones) para verificar la congruencia de un paralelogramo.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Congruencia de triángulos y criterios lógicos (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Proporcionar sorbetes con conectores articulados o palillos para la construcción física de las figuras en el aula.

Semana 23: Criterios de semejanza de triángulos

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Estudio formal de los criterios de semejanza de triángulos.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Utilizar e inferir regularidades de semejanza de triángulos aplicando criterios geométricos en problemas de aplicación.

📖 Concepto Teórico: * Criterios de Semejanza: AA (Ángulo-Ángulo), LAL (proporcionalidad lateral con ángulo común), LLL (lados proporcionales). * Proporciones Correspondientes: plantear la ecuación de proporcionalidad para despejar variables desconocidas. * Criterio AA Avanzado: justificar por qué si dos ángulos son congruentes, el tercer ángulo debe serlo por ley.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Despeje de Lados Semejantes: Dados dos triángulos semejantes, uno con lados 3, 4, 5 cm y otro con hipotenusa de 15 cm, calcule la longitud de sus otros dos lados. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Taller de Semejanza. Taller individual de 3 problemas métricos de semejanza de triángulos y proporciones cruzadas de lados.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Criterios de semejanza de triángulos (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar tarjetas plastificadas de los criterios con diagramas visuales y fórmulas de equivalencias.

Semana 24: Tales y Pitágoras avanzado en ingeniería

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Cálculo avanzado de distancias complejas uniendo ambos teoremas.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Resolver problemas avanzados de ingeniería y topografía caucana utilizando de forma integrada el Teorema de Tales y Pitágoras.

📖 Concepto Teórico: * Integración Teórica: combinar razones de proporcionalidad lateral de Tales con el despeje de diagonales de Pitágoras. * Modelación Topográfica: simplificar accidentes geográficos (ríos, pendientes) en diagramas de triángulos rectángulos. * Deducción Matemática: justificar de forma teórica la exactitud de los resultados obtenidos.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Tensor de la Cubierta: Calcule la longitud exacta de un tensor metálico inclinado que corta un sistema de vigas paralelas horizontales separadas por distancias conocidas. (30 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Defensa del Plano Técnico. Los equipos exponen su plano técnico de ingeniería y justifican ante el docente los cálculos métricos de Tales y Pitágoras.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Tales y Pitágoras avanzado en ingeniería (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Permitir el uso de GeoGebra para modelar el problema topográfico de manera digital y verificar las medidas resultantes.

Semana 25: Cierre de período: Taller de cuerpos redondos y límites

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Cierre evaluativo del proyecto I+D y entrega de portafolios.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Sustentar el volumen de un objeto esférico o cilíndrico construido y argumentar la aproximación al infinito en el proyecto I+D.

📖 Concepto Teórico: * Síntesis Pedagógica de Periodo: unificación de geometría 3D de cuerpos redondos con el pensamiento infinitesimal de límites. * Elocuencia Expositiva: defender de forma rigurosa la exactitud de los cálculos métricos de capacidad. * Autoevaluación Cualitativa: valoración consciente del pilar cognitivo, social y personal del estudiante.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Foro de Cuerpos Redondos I+D: Sustente la capacidad volumétrica exacta de su modelo construido, detallando cómo se aproximó al volumen real usando límites. (45 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Rúbrica Cualitativa de Cierre. Evaluación del portafolio físico o digital, coevaluación del trabajo en equipo del periodo y ticket de salida de fin de periodo.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Cierre de período: Taller de cuerpos redondos y límites (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Facilitar el uso de material visual impreso grande o videos con traducción para la sustentación del proyecto final.

Contexto y Aplicabilidad Real (Comunitaria/Familiar)

Los estudiantes diseñan el empaque óptimo (cilíndrico) para un producto típico de Popayán, minimizando el material usado para un volumen fijo.

Proyecto de Investigación y Desarrollo (I+D) — Educación Creadora

"El Empaque Perfecto: Diseño y Volumen de mi Producto" El estudiante diseña un empaque cilíndrico o cónico para un producto artesanal o alimenticio típico del Cauca, calculando su volumen, capacidad y el material mínimo necesario para construirlo.

Estrategias Didácticas Sugeridas

Laboratorio de Volúmenes: cono vs. cilindro con arena.
Reto de diseño de empaques óptimos.
Construcción del Triángulo de Sierpinski.

Recursos

Cartulina, arena o arroz, calculadora, plantillas de sólidos.

Criterios de Evaluación Cualitativa (SIEE KREADU School)

Dimensión	Pilar Cognitivo (Saber / Conceptos)	Pilar Social (Saber Hacer / Cooperación)	Pilar Personal (Ser / Autonomía y Autoestima)
Ancla: [[DIM-COGNITIVA]]	Diferencia progresión aritmética de geométrica.	Colabora en el laboratorio de volúmenes.	Se asombra frente a paradojas matemáticas del infinito.
Transversal: [[DIM-HISTORICA-MEMORIA]]	Conoce los postulados de Tales y Pitágoras.	Explica con claridad su diseño de empaque al grupo.	Valora el legado del pensamiento deductivo griego.

Conexión Horizontal (Articulación entre Áreas)

Ciencias Sociales: El estudio comparativo de poblaciones se articula con el análisis social de Sociales G09.
Tecnología e Informática: Uso de hojas de cálculo para el diagrama de caja y las combinaciones.
Proyecto (I+D): El estudio de "Comparando Realidades" conecta el pensamiento aleatorio con la ciudadanía crítica frente a la desigualdad territorial.

Nota de Inclusión (Diseño Universal para el Aprendizaje - DUA)

Múltiples formas de representación: Material manipulable, videos, software GeoGebra.
Múltiples formas de acción y expresión: Opción de informe escrito o infografía digital para el proyecto comparativo.
Múltiples formas de implicación: Libertad para elegir la microempresa o el par de poblaciones a comparar.